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用类比法研究等比数列的性质

2005-12-20 00:00:00   来源:   关注:

用类比法研究等比数列的性质

澳门葡京娱乐场官网_澳门新葡京娱乐场网址  郝玉怀

【设计思想】

  应用类比的思想研究等比数列的性质,不但能加深学生对知识的理解和掌握程度,同时培养了学生类比的能力.事实上,数学上有许多知识都可通过类比的方法获取,如立体几何中的体积求法可以用平面几何中的面积求法进行类比等等.

一、复习示范:

    1.复习:

等差数列与等比数列的定义;

    等差数列与等比数列的通项公式;

    等差数列的性质;

讲评:为示范引入知识

  2.示范:

  在等差数列中:an-an-1=d,关键是差,在等比数列中:an/an-1q,关键是商,

  在等差数列中:ana1(n1)d=a1+(d+d++d)

在等比数列中,ana1qn-1=a1×q×q××q

从两个公式可以看出,等差数列中差与和对应,属于同级运算;在等比数列中商与积对应,也是同一级的运算,运用这一思想我们能否类比等差数列的性质来研究等比数列的性质呢?

讲评:如果没有这一步的示范,学生无法进行下一步.

二、让学生对比等差数列性质用类比方法研究等比数列的性质:

    ()等差数列的性质:

    1.an=am+(nm)d

    2.数列{an}成为等差数列的充要条件:

    an-an-1=常数.  2an+1=an+an+2

    3.序号成等差数列的项仍成等差数列.

    4.从第二项起每一项是与它等距离的前后两项的等差中项.

5.若序号和相等,则对应项的和也相等.即若l+k=m+n,al+ak=am+an.

    6.等差数列的和差仍成等差数列.

    7.在等差数列中,按同一规律所取的项的和成等差数列.Sn,S2nSn,
S3n
-S2n,….

    8.三个数成等差数列,可设为:a-d,a,a+d;四个数成等差数列可设为:a-3d,
a
-d,a+d,a+3d,其余类推.

下列是学生要类比的结果:

()等比数列的性质:

    1. an=amqn-m.

    2.非零数列{an}成为等比数列的充要条件:

    an+1/an=非零常数.      a2n=an-1×an+1

    3.序号成等差数列的项成等比数列.

    4.从第二项起每一项是与它等距离的前后两项的等比中项.

5.若序号和相等,则它们的对应项的积也相等.即若l+k=m+n,

al·ak=am·an.

    6.等比数列的积商仍成等比数列.

    7.在等比数列中, 按同一规律所取的项的和成等比数列.Sn,S2nSn,
S3n
-S2n,….

    8.三个数成等比数列,可设为a/q,a,aq, 四个数成等比数列可设为a/q3,a/q,
aq,aq3(
必须是同号数列),其余类推.

讲评:必要时教师要进行指导和点拨。

三、类比引深:

    已知数列{ak}为等差数列,且am=a,an=b,(mn),

am+n=(bn-am)/(n-m);

    已知数列{bk}为等比数列,且bm=a,bn=b,(mn),

(1)根据,通过类比,你认为bm+n的值可能是什么?写出思维过程.

    (2)证明这个推测bm+n的值是否正确?

   解:(1) am+n=nb/(m-n)-ma/(n-m),

    猜想:bm+n=bn/(n-m)/am/(n-m)

    (2)a=a1qm-1b=a1qn-1,q=(b/a)1/(n-m)

    bm+n=bmqm+n-m=a×(b/a)n/(n-m)=bn/(n-m)/am/(n-m)

讲评:本题可在老师的引导下由学生进行

【练习】已知等差数列{an}的前n项和Sn=na1+n(n-1)d/2,用类比的方法,写出等比数列{bn}n项积Tn=________

    答案:Tn=bn1×qn(n-1)/2

【小结】本次我们通过用类比的思想给出了等比数列的性质,它不但对于学生记忆这些性质有帮助,更重要地交给了学生学习的方法¾¾类比法.

 

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